Mais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a
modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caçar e coletar
frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Era o
início da agricultura, graças à qual aumentava muito a variedade de alimentos
de que podia dispor. E para dedicar-se às atividades de plantar e criar
animais, o homem não podia continuar a deslocar-se de um lugar para outro como
antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente nas margens de
rios e cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria
moradia.
Começaram a surgir as primeiras comunidades
organizadas, com chefe, e divisão do trabalho entre as pessoas.
O trabalho de um pastor primitivo era muito
simples. De manhã bem cedo, ele levava as ovelhas para pastar. À noite recolhia
as ovelhas, guardando-as dentro de um cercado. Mas como controlar o rebanho?
Como ter certeza de que nenhuma ovelha havia fugido ou sido devorada por algum
animal selvagem? O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi
contar as ovelhas com pedras. Assim:
Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma
pedra. O pastor colocava todas as pedras num saquinho. No fim do dia, à medida
que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. Que
susto levaria se após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma
pedra!
Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de
anos mais tarde, haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo, que em latim
quer dizer contas com pedras.
Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades
primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas
nas margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez
mais complexa. Novas atividades foram surgindo, graças, sobretudo ao
desenvolvimento do comércio.
Os agricultores passaram a produzir alimentos em
quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam
dedicar-se a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes,
administradores, entre outros.
Como consequência desse desenvolvimento surgiu a
escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História.
Os grandes progressos que marcaram o fim da
Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito.
Mas como efetuar cálculos rápidos e precisos com
pedras, nós ou riscos num osso?
Foi partindo dessa necessidade imediata que
estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de
uma coleção através de desenhos – os símbolos.
A criação dos símbolos foi um passo muito
importante para o desenvolvimento da Matemática.
Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5
bastões para obter 8 bastões.
Hoje sabemos representar esta operação por meio de
símbolos, mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para
representar os números?
Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha
um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu
ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó:
provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos
faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes.
Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
O papiro Ahmes é um antigo manual de Matemática.
Contém 80 problemas, todos resolvidos. A maioria envolve assuntos do dia-a-dia,
como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando
e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil
aos cientistas compreenderem o sistema de numeração egípcio. Além disso, a
decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e
monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil.
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Um traço vertical representava 1 unidade;
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Um osso de calcanhar invertido representava o número 10 unidades;
- Um laço valia 100 unidades;
- Uma flor de lótus valia 1.000 unidades;
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Um dedo dobrado valia 10.000 unidades;
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Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades;
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Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000
unidades.
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Quase
tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios baseia-se em dois
grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscovo.
O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de
comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1858 por um antiquário escocês
chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind.
Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres. O Papiro de Moscovo é uma
estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas.
Encontra-se atualmente em Moscovo. Não se sabe nada sobre o seu autor.
A técnica de calcular dos egípcios
Com a
ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os
cálculos que envolviam números inteiros. Para isso, empregavam uma técnica de
cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através
de uma adição. Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9
deveria ser adicionado treze vezes.
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
+ 9 + 9
Os
egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números
inteiros. Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidade de
expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
E para isso os números inteiros não serviam.
Descobrindo a fração
O rio Nilo atravessa uma vasta
planície e uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos
metros acima do seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo das suas
margens. Quando as águas baixam, deixam descoberta uma estreita faixa de terras
férteis, prontas para o cultivo.Desde a Antiguidade, as águas do Nilo
fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Foi nas terras
férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia. Cada metro
de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.
Sesóstris repartiu estas preciosas
terras entre uns poucos agricultores privilegiados.
Todos
os anos, durante o mês de Junho, o nível das águas do Nilo começava a subir.
Era o início da inundação, que durava até Setembro. Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de
pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada
agricultor. Usavam cordas para fazer a medição. Havia
uma unidade de medida assinalada na própria corda. As pessoas encarregadas de
medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida
estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas. No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida
escolhida, dificilmente cabia um
número inteiro no lado do terreno. Foi por essa razão que os
egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário. Para representar os números
fracionários, usavam frações.
As complicadas frações egípcias
Os
egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso,
utilizavam apenas as frações
unitárias, isto é, com numerador
igual a 1. Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal
oval alongado sobre o denominador. As outras frações eram expressas através de
uma soma de frações de numerador 1. Os egípcios não colocavam o sinal de adição
- + - entre as frações, porque
os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados. No sistema de
numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita frequência. Por isso,
tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números
fracionários eram muito complicados. Assim como os egípcios, outros povos
também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os
cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas esbarravam sempre
em alguma dificuldade.
Apenas por volta do século III
a.C. começou a formar-se um sistema de numeração bem mais prático e eficiente
do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.
Contando com os romanos
De todas as civilizações da Antiguidade, a dos
romanos foi sem dúvida a mais importante. O seu centro era a cidade de Roma.
Desde a sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em
476 d.C., os seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de
todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos;
mais tarde nas campanhas de conquista de novos territórios.
Foi assim que, pouco a pouco, os
romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de
uma parte da Ásia e o norte de África.
Apesar de a maioria da população viver na miséria,
em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa.
Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da
elite romana. Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou
o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas. Como foi
que os romanos conseguiram isso?
O sistema de numeração romano
Os romanos inventaram símbolos novos para
representar os números; usando as letras do alfabeto.
I V X L C
D M
O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:
I tinha o
valor 1.
V valia 5.
X representava 10 unidades.
L indicava 50 unidades.
C valia 100.
D valia 500.
M valia 1.000.
Quando apareciam vários números iguais juntos, os
romanos somavam os seus valores.
II = 1 + 1 = 2
XX = 10 + 10 = 20
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
Quando dois números diferentes vinham juntos, e o
menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores.
IV = 4 porque 5 - 1 = 4
IX = 9 porque 10 – 1 = 9
XC = 90 porque 100 – 10 = 90
Mas se o número maior vinha antes
do menor, eles somavam os seus valores.
VI = 6 porque 5 + 1 = 6
XXV = 25 porque 20 + 5 = 25
XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36
LX = 60 porque 50 + 10 = 60
Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor.
M = 1.000
Como antes de M não tinha nenhuma
letra, buscavam a segunda letra de maior valor.
D = 500
Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.
D – C = 500 – 100 = 400
Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e
M.
M + CD = 1.000 + 400 = 1.400
Sobrava apenas o V. Então:
MCDV = 1.400 + 5= 1.405
Os milhares
O número 1.000 era representado pela letra M. Assim, MM
correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000. E os números maiores que 3.000? Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os
romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses
números. Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000. Dois
traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão. O sistema de numeração romano
foi adotado por muitos povos, mas ainda era difícil efetuar cálculos com este
sistema. Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar
intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os
números. E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais
notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.
Afinal os nossos números
Os
números que usamos (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0) são chamados "números
árabes" para se distinguirem dos "números romanos"
(I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,X).
Então porque razão o “1”
significa "um", “2” significa "dois“, e assim por diante?
Vamos observar:
-Quantos ângulos tem cada um
deles?
Se escrever o número na sua
forma primitiva, verá que:
O
número 1 tem um ângulo.
O número 2 tem dois ângulos.
O número 3 tem três ângulos.
E o "0" não tem ângulos.
Os números racionais
Com o sistema de numeração
ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.
0 13 35 98 1.024 3.645.872
Como
estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais. Os números
naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários. Não havia
mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de
dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número fracionário
passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais.
A
palavra razão em
matemática significa divisão.
Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos
como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais. A descoberta
dos números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.
